Стандартный спектральный анализ и синтез

Стандартный спектральный анализ и синтез

Рассмотрев некоторые частные аспекты спектрального анализа и синтеза, мы вплотную подошли к их классической реализации и методам ее улучшения. Прежде всего отметим, что MathCAD содержит средства, позволяющие провести спектральный анализ по классическому алгоритму, описанному в любом учебнике математики или в книгах по спектральному анализу.

К сожалению, классический метод спектрального анализа с вычислением коэффициентов Фурье численным интегрированием имеет ряд недостатков. Интегралы для коэффициентов Фурье вычисляются приближенно. Подынтегральные функции имеют быстро осциллирующие синусные и косинусные множители, что затрудняет интегрирование с малой заданной погрешностью. В итоге интегрирование идет довольно медленно, а точность вычислений оставляет желать лучшего. Эффект Гиббса не подавляется, поскольку его проявление связано с ограничением числа гармоник, которое имеет место при практической реализации данного алгоритма. Результаты анализа в значительной мере зависят от конкретной реализации интегрирования (к примеру, они различны у различных версий системы MathCAD). Время интегрирования достаточно значительное.

В основе так называемого стандартного спектрального анализа лежит вычисление интегралов, определяющих коэффициенты Фурье, простейшим численным методом прямоугольников Может показаться, что это большой шаг назад в сравнении с классическим методом. И уж тем более трудно поверить, что такой метод является единственным научно обоснованным методом вычисления этих коэффициентов [29, 30] Тем не менее это так. И понятно, почему. Если функция y (t) задана рядом дискретных отсчетов (вектор Yi), мы не имеем права предполагать, что какая-либо интерполяция значений y (t) между узлами имеет преимущество перед постоянством y (t). Строгий теоретический анализ показывает, что синтез у ft) по максимальному для данного числа отсчетов количеству гармоник при интегрировании методом прямоугольников дает наименьшую среднеквадратичную погрешность.

Документ на рис. 14. 23 показывает спектральный анализ и синтез стандартным методом (в варианте, описанном в [2]).